在刚体动力学中, 刚体运动方程至关重要. 而要理解刚体运动方程, 首先需要了解分析力学中的拉格朗日方程. 本文从理论力学教材中整理了拉格朗日方程相关部分的一些基础概念及其推导, 以供参考.

分析力学: 1788年, 拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》, 完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题, 而无需借助以往常用的几何方法, 全书一张图也没有. 在此基础上, 逐步发展为一系列处理力学问题的新方法, 称之为分析力学.

1 约束与广义坐标

1.1 约束的概念与分类

大量质点的组成的体系, 如果其中又相互作用, 以至于其中每一质点的运动, 都和其他质点的位置和运动有关, 则这种体系, 叫做力学体系, 或简称体系.

在一个力学体系中, 常存在着一些限制各质点自由运动的条件, 我们把这些条件叫做约束. 如果限制系统位置的约束不是时间 的函数, 则约束方程中不显含时间 , 如 , 这种约束叫做稳定约束. 反之, 如果约束是时间 的函数, 则约束方程就将显含时间 , 如 , 这种约束称为不稳定约束.

约束又分为可解的与不可解的. 质点始终不能脱离的约束, 叫做不可解约束. 例如质点被约束在曲面 或 上, 并且始终不能脱离这个曲面, 这种约束就是不可解约束. 如果质点虽然被约束在某一曲面上, 但在某一方向可以脱离, 就叫做可解约束. 例如, 约束 , 质点可以在曲面 上, 也可以在 的方向离开这一曲面. 因此, 不可解约束以等式表示, 而可解约束则同时以等式和不等式表示.

约束也可分为几何约束和运动约束. 几何约束又叫完整约束, 只限制质点在空间的位置, 表现为质点坐标的函数, 例如 或 . 运动约束又叫微分约束, 则除了限制质点的坐标外, 还要限制质点速度的投影, 例如 . 微分约束有事经过积分后可变为几何约束, 若不能积分, 就称为不完整约束. 不能用等式表示的可解约束, 是另一种不完整约束, 除了这两种外, 其他约束都是完整约束.

只受有完整约束的力学体系叫做完整系. 同时受有完整约束与不完整约束的力学体系, 或只受有不完整约束的力学体系, 都叫不完整系.

加在一个力学体系上的约束, 限制了力学体系中各质点的运动, 使各质点的运动和原来在同样的力作用下而不受约束时的运动有所不同. 约束之所以能产生这样的效果, 是通过质点间相互的机械作用来实现的, 这就是约束反作用力, 简称约束力或约束反力. 在分析力学中, 主要的课题是求力学体系的运动, 而不是求这些约束反力.

对于单个质点. 如果质点不受任何约束而运动, 则叫自由质点. 如果质点受某种约束, 则叫非自由质点, 例如被限制在某曲线或曲面上运动, 不能脱离该曲线或该面而作任意运动并占据空间任意位置. 此时该线或该面叫作约束, 而该线或该面的方程叫做约束方程. 解非自由质点的运动 (或称约束运动) 问题, 一般都是将约束去掉, 而代之以约束反作用力, 从而把它当成自由质点. 约束反作用力, 一般都是未知的；跟普通的力不同, 它不完全决定于约束本身, 而与作用在质点上的其它力及质点本身运动状态等有关；而且, 单靠约束反作用力本身, 并不能引起质点的任何运动. 所以约束反作用力常被称为被动力或约束力, 不是约束力的那些力称为主动力. 约束反作用力通常作用在质点和曲线或曲面的接触点上. 在无摩擦的情况下, 它沿着曲线或曲面的法线, 而在有摩擦的情况下, 则和法线成一定角度的倾斜.

1.2 广义坐标

对于 个质点所形成的力学体系, 如果有 个几何约束

$$f_\alpha(x,y,z,t)=0~~~~(\alpha=1,2,\cdots,k),\tag{1.1}$$

那么独立坐标就减少为 个. 这些独立坐标, 就是力学体系的坐标. 在力学体系只受有几何约束的情形下, 这些独立坐标的数目叫做力学体系的自由度. 但对微分约束来讲, 自由度的数目则可能小于独立坐标的数目.

既然只有 个坐标是独立的, 如果我们令 , 那么我们就可通过上式, 把 个不独立的坐标用 个独立参数 及 表示, 即

$$\boldsymbol{r}_i=\boldsymbol{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_s,t)~~~~(i=1,2,\cdots,n,~~s<3n),\tag{1.2}$$

式中 叫做拉格朗日广义坐标.

2 虚功原理

2.1 实位移与虚位移

质点由于运动实际上所发生的位移, 叫做实位移, 以 表示. 想象在某一时刻 , 质点 在约束所许可的情况下, 发生了一个无限小的变更. 这一变更, 不是由于质点的运动而实际发生的, 而只是想象中可能发生的位移, 它只决定于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束, 而不是由于时间的改变所引起的. 这种位移叫做虚位移, 并以 表示. 由于时间 没有改变, 故 .

2.2 理想约束

作用在质点上的力 (包括约束反力) 在任意虚位移 中所作的功, 叫做虚功. 如果作用在一力学体系上诸约束反力在任意虚位移 中所作的虚功之和为零, 即

$$\sum_{i=0}^n\boldsymbol{R}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0,\tag{2.1}$$

那么这种约束叫做理想约束. 光滑面, 光滑曲线, 光滑铰链, 刚性杆, 不可伸长的绳等都是理想约束. 引入虚位移的目的, 就在于利用上式来消去这些约束反力.

2.3 虚功原理

以下只讨论不可解约束的情况. 设受有 个几何约束的某力学体系处于平衡状态. 取体系中任一质点 , 并设作用在此质点上主动力的合力为 , 约束反力的合力为 , 则因在此体系中每一质点都必须处于平衡状态中, 故此时必有

$$\boldsymbol{F}_i+\boldsymbol{R}_i=0~~~~(i=1,2,\cdots,n).\tag{2.2}$$

现在让每一质点自它的平衡位置发生一虚位移 , 则由上式得

$$\boldsymbol{F}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i+\boldsymbol{R}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0~~~~(i=1,2,\cdots,n).$$

对 求和, 得到

$$\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i+\sum_{i=1}^n\boldsymbol{R}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0.\tag{2.3}$$

但如为理想约束, 则有 , 因此, 如果这样的力学体系处于平衡状态, 则其平衡条件是

$$\delta W=\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}_i\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0.\tag{2.4}$$

反之, 也可证明, 如果平衡位置是约束所允许的位置, 则当上式对任意 都成立时, 系统在该位置必保持平衡. 由此可知, 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零. 这个关系是1717年伯努利首先发现的, 叫做虚功原理, 也叫虚位移原理.

利用虚功原理解理想约束的力学体系的平衡问题时, 由于约束反力自动消去, 故可很简单地用它去求主动力在平衡时所应满足的条件, 即所谓平衡条件, 这是它很大的一个优点. 但从另一方面来看, 也有它的缺点, 因为无法用它来求出约束反力.

3 拉格朗日方程

理论力学中, 我们所研究的能量限于机械能. 它分为两大类: 一类是由于物体有一定的速度而具有的能量, 通常叫做动能, 并用符号 表示. 另一类则是由于物体间相对位置发生变化所具有的能量, 通常叫做势能, 并用符号 表示.

如果力所作的功与中间路径无关, 或者沿任何闭合路径运行一周时, 力所作的功为零, 这种力就叫做保守力. 反之如果力所作的功与中间路径有关, 或沿任何闭合路径运行一周, 力所作的功不为零, 那么这种力就叫做非保守力, 也叫涡旋力. 至于摩擦力所作的功, 虽然也与路径有关, 但它总是作负功而消耗能量, 所以又叫耗散力. 在物理学中, 万有引力, 弹性力和静电力都是保守力, 电磁学中涡旋电场的涡旋电磁力是非保守力, 而流体的黏性力则是耗散力.

3.1 基本形式的拉格朗日方程

从牛顿运动定律出发, 求出用广义坐标表示的完整系的动力学方程, 它是分析力学中极为重要的方程组之一.

由 个质点所形成的力学体系的动力学方程, 根据牛顿运动定律可写为

$$-m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i+\boldsymbol{F}_i+\boldsymbol{R}_i=0~~~~(i=1,2,\cdots,n).\tag{3.1}$$

上式是一个力学体系的平衡方程, 代表主动力 , 约束反力 和质点因有加速度而产生的有效力 (惯性力) 的平衡. 这种平衡关系, 通常叫做达朗贝尔原理.

若用虚位移 标乘上式, 并对 求和, 在理想约束的条件下, 则得

$$\sum^n_{i=1}(\boldsymbol{F}_i-m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i)\cdot\delta\boldsymbol{r}_i=0.\tag{3.2}$$

该方程和表示虚功原理的式 (2.4) 颇为类似. 这是和力学体系的静止条件式 (3.1) 相应的虚功原理. 即达朗贝尔和虚功原理的结合, 有时又称为达朗贝尔-拉格朗日方程.

由于存在约束关系, 我们不能令式 (3.2) 中 前面所有的乘数都等于零, 否则, 就成为自由质点的运动微分方程了. 因此, 可以利用式 (1.2), 把不独立的 等改用广义坐标 等来表示. 如果力学体系受有 个几何约束, 那么只要 个广义坐标 , 就能表明此力学体系的运动状态了.

由式 (1.2), 知 是 个 及 的函数. 显然

$$\begin{align*}\rm{d}\boldsymbol{r}_i & = \frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_1}\rm{d}q_1+\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_2}\rm{d}q_2+\cdots+\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_s}\rm{d}q_s+\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial t}\rm{d}t\\ & =\sum_{\alpha=1}^s\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\rm{d}q_\alpha+\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial t}\rm{d}t.\end{align*}\tag{3.3}$$

如果把实位移 改成虚位移 , 则因 , 故由上式, 就立即得出

$$\delta\boldsymbol{r}_i=\sum_{\alpha=1}^s\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha.\tag{3.4}$$

因此, 式 (3.2) 可改写为

$$\sum^n_{i=1}(\boldsymbol{F}_i-m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i)\cdot\sum_{\alpha=1}^s\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha=0,$$

即

$$-\sum_{i=1}^n\sum_{\alpha=1}^sm_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha+\sum_{i=1}^n\sum_{\alpha=1}^s\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha=0.\tag{3.5}$$

对第一部分, 令

$$\sum_{i=1}^n\sum_{\alpha=1}^sm_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha=\sum_{\alpha=1}^s\left[\sum_{i=1}^n\left(m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha\right]=\sum_{\alpha=1}^sP_\alpha\delta q_\alpha.\tag{3.6}$$

对第二部分, 令

$$\sum_{i=1}^n\sum_{\alpha=1}^s\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha=\sum_{\alpha=1}^s\left[\sum_{i=1}^n\left(\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha\right]=\sum_{\alpha=1}^sQ_\alpha\delta q_\alpha.\tag{3.7}$$

现在来计算 , 由式 (3.6) 知

$$P_\alpha=\sum_{i=1}^nm_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\sum_{i=1}^nm_i\left(\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\right)-\sum_{i=1}^nm_i\left(\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\right).\tag{3.8}$$

现在先求 的表达式

$$\dot{\boldsymbol{r}}_i=\frac{\text{d}\boldsymbol{r}_i}{\text{d}t} =\sum_{\alpha=1}^s\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha+\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial t}.\tag{3.9}$$

由式 (1.2) 知 是 及 的函数, 而 一般也仍然是 及 的函数, 除非这些独立变量在 中都是线性的. 因此, 在一般情况下, 是 及 的函数. 同时, 和每个 都不是 的函数. 且因 也是互相独立的, 这样由式 (3.9), 就可得出

$$\frac{\partial\dot{\boldsymbol{r}}_i}{\partial\dot{q}_\alpha}=\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}.\tag{3.10}$$

再求 对 的微商, 得

$$\begin{align*}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} & =\sum_{\beta=1}^s\left(\frac{\partial^2\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\beta\partial q_\alpha}\dot{q}_\beta\right)+\frac{\partial^2\boldsymbol{r}_i}{\partial t\partial q_\alpha}=\frac{\partial}{\partial q_\alpha}\left(\sum_{\beta=1}^s\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\beta}\dot{q}_\beta+\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial t}\right)\\ & = \frac{\partial\dot{\boldsymbol{r}}_i}{\partial q_\alpha}=\frac{\partial}{\partial q_\alpha}\frac{\text{d}\boldsymbol{r}_i}{\text{d} t}.\end{align*}\tag{3.11}$$

即 对时间 的微商和对广义坐标 的偏微商可以对易. 利用 (3.10) 和 (3.11) 的关系, (3.8) 变为

$$P_\alpha=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\sum_{i=1}^nm_i\left(\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\dot{\boldsymbol{r}}_i}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)-\sum_{i=1}^nm_i\left(\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\frac{\partial\dot{\boldsymbol{r}}_i}{\partial q_\alpha}\right).\tag{3.12}$$

式 (3.12) 右方含有求和号的两项, 恰为体系动能

$$T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nm_i\dot{\boldsymbol{r}}_i^2$$

对 及 的偏微商, 因此 (3.12) 可改写为

$$P_\alpha=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_\alpha}-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}.$$

通过式 (3.6) 与 式 (3.7) 的代换, 动力学方程式 (3.5) 变为

$$\sum_{\alpha=1}^s\left[\left(-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_\alpha}+\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}+Q_\alpha\right)\delta q_\alpha\right]=0.\tag{3.13}$$

由于 是相互独立的, 故得

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}=Q_\alpha~~~~(\alpha=1,2,\cdots,s).\tag{3.14}$$

这就是基本形式的拉格朗日方程. 它们是广义坐标 以时间 作自变量的 个二阶常微分方程. 此组方程的好处是, 只要知道一力学体系用广义坐标 所表示的动能 , 及作用在此力学体系上的力 (也是用 及 表示的) , 就可写出这力学体系的动力学方程. 叫做广义动量, 可为线动量或角动量等. 叫做广义速度 (线速度, 角速度或其他) . 因为动量对时间的微商等于力, 故 叫做广义力, 量纲随 而定. 可以是力, 也可以是力矩或其他的物理量, 如压强 , 表面张力 , 电场强度 或磁场强度 等. 广义力 中一般不包含约束反作用力. 所以利用基本形式的拉格朗日方程一般也不能直接求出约束反作用力.

由式 (3.7), 广义力 可以用

$$Q_\alpha=\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}~~~~(\alpha=1,2,\cdots,s)$$

的关系求出, 但比较麻烦. 通常情况下, 直接用式 (3.7) 来计算广义力 比较方便.

3.2 保守系的拉格朗日方程

对保守力系来讲, 基本形式的拉格朗日方程 (3.14) 还能再加简化. 保守力系中必存在势能 , 它是坐标的函数, 且

$$\left\{\begin{align*} &\boldsymbol{F}_i=-\nabla_iV\\ &F_{ix}=-\frac{\partial V}{\partial x_i},F_{iy}=-\frac{\partial V}{\partial y_i},F_{iz}=-\frac{\partial V}{\partial z_i} \end{align*}\right.\qquad (i=1,2,\cdots,n)$$

这里 是所有点坐标 的函数. 如果把方程 (1.2) 代入, 则 成为 的函数. 于是

$$\begin{align*} Q_\alpha &=\sum_{i=1}^n\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}\\ &=\sum_{i=1}^n\left(F_{ix}\frac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}+F_{iy}\frac{\partial y_i}{\partial q_\alpha}+F_{iz}\frac{\partial z_i}{\partial q_\alpha}\right)\\ &=\sum_{i=1}^n\left(-\frac{\partial V}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}-\frac{\partial V}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial q_\alpha}-\frac{\partial V}{\partial z_i}\frac{\partial z_i}{\partial q_\alpha}\right)\\ &=-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha} \end{align*}\tag{3.15}$$

这样一来, 基本形式的拉格朗日方程 (3.14) 就可改写为

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}=-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}\qquad(\alpha=1,2,\cdots,s) \tag{3.16}$$

因为势能 中一般并不包含广义速度 , 故如令

$$L=T-V \tag{3.17}$$

代表体系的动能与势能之差, 则

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha}\qquad \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}$$

而基本形式的拉格朗日方程 (3.14) 则变为

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0\qquad (\alpha=1,2,\cdots,s) \tag{3.18}$$

这就是保守力系的拉格朗日方程, 因为用得较多, 有时也直接把它叫做拉格朗日方程或拉氏方程. 式中 叫做拉格朗日函数, 简称拉氏函数. 拉氏函数 等于力学体系动能和势能之差, 它是力学体系的一个特性函数, 表征着约束, 运动状态, 相互作用等性质.